Question

1．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F₂到直线AF₁的距离为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₂的直线交椭圆于M，N两点，求$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出2•$\frac{bc}{a}$=$\sqrt{2}$，b=1，由此能求出椭圆E的方程；
（Ⅱ）讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求范围；
（Ⅲ）设直线CD：y=k（x-$\sqrt{2}$），（k≠0），则P（0，-$\sqrt{2}$），联立$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（1+2k²）x²-4$\sqrt{2}$k²x+4k²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件，能求出$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值1．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）的左、右焦点，
A，B分别为椭圆的上、下顶点，F₂到直线AF₁的距离为$\sqrt{2}$．
∴2•$\frac{bc}{a}$=$\sqrt{2}$，b=1，a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（Ⅱ）MN的斜率不存在时，MN：x=1，解得M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），N（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$=-$\frac{1}{2}$；
MN的斜率存在时，设直线MN：y=k（x-1），代入椭圆方程可得
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（1+k²）[x₁x₂+1-（x₁+x₂）]
=（1+k²）•（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+1-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）=-$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$∈[-1，-$\frac{1}{2}$）．
综上可得$\overrightarrow{{F_2}M}$•$\overrightarrow{{F_2}N}$的取值范围是[-1，-$\frac{1}{2}$]；
（Ⅲ）证明：∵椭圆的右顶点C（$\sqrt{2}$，0），
∴设直线CD：y=k（x-$\sqrt{2}$），（k≠0），则P（0，-$\sqrt{2}$k），
联立 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{y=k（x-\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4$\sqrt{2}$k²x+4k²-2=0，
∴x_C•x_D=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴x_D=$\frac{4{k}^{2}-2}{（1+2{k}^{2}）{x}_{C}}$=$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$，
设点Q（x′，y′），直线BC的方程为y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$（x-$\sqrt{2}$），A、D、Q三点共线，
则有 $\left\{\begin{array}{l}{y'=\frac{1}{\sqrt{2}}（x'-\sqrt{2}）}\\{\frac{y'-1}{x'}=\frac{{y}_{D}-1}{{x}_{D}}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x'=\sqrt{2}y'+\sqrt{2}}\\{\frac{1}{x'}=\frac{{y}_{D}-1}{{x}_{D}（y'-1）}}\end{array}\right.$，
∴$\sqrt{2}$y′+$\sqrt{2}$=$\frac{{x}_{D}（y'-1）}{{y}_{D}-1}$，
∴$\frac{y'-1}{y'+1}$=$\frac{\sqrt{2}（{y}_{D}-1）}{{x}_{D}}$，
又∵yD=k（xD-$\sqrt{2}$），∴$\frac{y'-1}{y'+1}$=$\frac{\sqrt{2}k{x}_{D}-2k-\sqrt{2}}{{x}_{D}}$=$\sqrt{2}$k-$\frac{2k+\sqrt{2}}{{x}_{D}}$，
将x_D=$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$代入，得：$\frac{y'-1}{y'+1}$=$\frac{\sqrt{2}k+1}{1-\sqrt{2}•\sqrt{2}k}$，∴y′=-$\frac{1}{\sqrt{2}k}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（0，-$\sqrt{2}$k）•（x'，-$\frac{1}{\sqrt{2}k}$）=1．
即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理、椭圆性质等知识点的灵活运用．