Question

10．如图所示的多面体 ABC-EFGH中，AB∥EG，AC∥EH，且△ABC与△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF=FG=$\sqrt{2}，GH=1，EH=\sqrt{5}，∠EGH={90°}$，且 AC=$\frac{1}{2}$EH，AE=EG
（1）求证，BF⊥EG；
（2）求二面角F-BG-H的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取EG的中点O，连结OF、OB，通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；
（2）以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则所求值即为平面GBF的一个法向量与平面GBH的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

解答 （1）证明：∵AB∥EG，且△ABC∽△EGH，AC=$\frac{1}{2}$EH，
∴AB=$\frac{1}{2}$EG，
取EG的中点O，连结OF、OB，∴OB∥AE，
又∵AE⊥平面EFGH，∴OB⊥平面EFGH，
又∵EG?平面EFGH，∴OB⊥EG，
又∵EF=FG=$\sqrt{2}$，∴OF⊥EG，
∵OF∩OB=O，∴EG⊥平面OBF，
∵BF?平面OBF，∴BF⊥EG；
（2）解：由（1）知OF、OG、OB两两垂直，
如图，以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别
为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵GH=1，EH=$\sqrt{5}$，∠EGH=90°，
∴EG=$\sqrt{E{H}^{2}-1}$=2，
∵EF=FG=$\sqrt{2}$，∴OF=1，
∵AE=EG，∴OB=2，
∴F（1，0，0），G（0，1，0），B（0，0，2），H（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{GF}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{GB}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{GH}$=（-1，0，0），
设平面GBF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{y}_{1}=0}\\{-{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令z₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
设平面GBH的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
同理可得$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4+1}{\sqrt{4+4+1}•\sqrt{4+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
由图可知，二面角F-BG-H为钝角，
∴其余弦值为$-\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．