Question

6．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点（0，-1），且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得b和$\frac{c}{a}$，结合隐含条件a²=b²+c²求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意求出A，B，D的坐标，得到直线AD的方程，再设出直线BP方程，联立两直线方程求得P的坐标，联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标，再由M，D，Q三点共线求得Q的坐标，代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率，整理后即可得到关于k，m的等式，则可求得点N（m，k）所在定直线方程．

解答 解：（1）依题意，b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，
∴3a²=4c²=4（a²-b²）=4a²-4，即a²=4．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），D（0，1），
∴直线AD的方程为y=$\frac{1}{2}x+1$，
由题意，直线BP的方程为y=k（x-2），k≠0且k$≠±\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}$），
设M（x₁，y₁），则由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
∴$2{x}_{1}=\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，即${x}_{1}=\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$，${y}_{1}=k（{x}_{1}-2）=-\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$．
即M（$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}，-\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$），
设Q（x₂，0），则由M，D，Q三点共线得：k_DM=k_DQ，即$\frac{-\frac{4k}{4{k}^{2}+1}-1}{\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}}=\frac{-1}{{x}_{2}}$，
∴${x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+4k+1}=\frac{4k-2}{2k+1}$，则$Q（\frac{4k-2}{2k+1}，0）$，
∴PQ的斜率m=$\frac{\frac{4k}{2k-1}-0}{\frac{4k+2}{2k-1}-\frac{4k-2}{2k+1}}=\frac{2k+1}{4}$．
∴2k+1=4m，即点N（m，k）在定直线4x-2y-1=0上．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，（2）的求解着重体现了“舍而不求”和整体运算思想方法，属中高档题．