Question

14．已知直线l：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+1过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴交于点M，求常数λ使得k_AM=λk_BD．

Answer 1

分析 （1）利用直线$l：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$的截距，求出椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的几何量，然后求解方程．
（2）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），直线AB的斜率${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，直线AD的斜率$k=-\frac{x_1}{y_1}$，设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出k_BD，推出M（3x₁，0）．利用k_AM=-2k_BD，求出λ．

解答 解：（1）直线$l：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$过两点$（{0，1}），（{-\sqrt{3}，0}）$…（1分）
因为椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点在x轴时，
故焦点为$（{-\sqrt{3}，0}）$，顶点为（0，1）…（2分）．
∴b=1，c=$\sqrt{3}$…（3分）．
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，…（4分）．
所以，所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（2）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），直线AB的斜率${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，…（6分）
又AB⊥AD，所以直线AD的斜率$k=-\frac{x_1}{y_1}$，…（7分）
设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，…（8分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，可得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0．
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}$，…（9分）
因此${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+4{k^2}}}$，
由题意知，x₁≠x₂，所以${k_{BD}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{4k}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}$，…（11分）
所以直线BD的方程为$y+{y_1}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}（x+{x_1}）$，
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0）．
可得${k_{AM}}=-\frac{y_1}{{2{x_1}}}$．…（13分）
所以k_AM=-2k_BD，即λ=-2．因此存在常数λ=-2使得结论成立．…（14分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．