Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若a，b均为不等于1的正实数，则a＞b是$f（\frac{1}{{{{log}_a}2}}）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）＞0$成立的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 先求出函数f（x）在R上的单调性，再结合对数函数的性质，从而判断出$f（\frac{1}{{{{log}_a}2}}）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）＞0$成立的充要条件，进而得到答案．

解答 解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若$f（\frac{1}{{{{log}_a}2}}）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）＞0$，
则f（${log}_{2}^{a}$）＞-f（-${log}_{2}^{b}$）=f（${log}_{2}^{b}$），
则${log}_{2}^{a}$＞${log}_{2}^{b}$，
则a＞b，
故选：C．

点评 本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，考查函数的单调性，本题是一道基础题．