Question

10．已知椭圆的左焦点为F₁，右焦点为F₂．若椭圆上存在一点P，满足线段PF₂相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF₂的中点，则该椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

Answer 1

分析 先设切点为M，连接OM，PF₁，根据已知条件即可得到|PF₁|=2b，并且知道PF₁⊥PF₂，这样即可可求得|PF₂|=2$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，这样利用椭圆的定义便得到2b+2$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=2a，化简即可得到b=$\frac{2}{3}$，根据离心率的计算公式即可求得离心率e．

解答 解：如图，
设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF₂相切于M点，
连接OM，PF₂，
∵M，O分别是PF₂，F₁F₂的中点，
∴MO∥PF₁，且|PF₁|=2|MO|=2b，
OM⊥PF₂，
∴PF₁⊥PF₂，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，
根据椭圆的定义，|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴2b+2$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=2a，
∴a-b=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，
两边平方得：a²-2ab+b²=c²-b²，
c²=a²-b²代入并化简得：2a=3b，
∴b=$\frac{2}{3}$，a=1，c=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查中位线的性质，圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c²=a²-b²，椭圆离心率的计算公式，属于中档题．