Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为Sn，且${s}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n（n∈{N}^{*}）$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${c}_{n=}\frac{1}{（2{a}_{n}-11）（2{a}_{n}-9）}$，数列{c_n}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞$\frac{k}{2014}$对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；
（3）设f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}（n=2k-1，k∈{N}^{*}）}\\{3{a}_{n}-13（n=2k，k∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$，是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{11}{2}$n，当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．
（2）c_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”可得T_n=$\frac{n}{2n+1}$．利用数列{T_n}单调递增，可得（T_n）_min=T₁=$\frac{1}{3}$．令$\frac{1}{3}$$＞\frac{k}{2014}$，解得k即可得出．
（3）f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n+5，n为奇数}\\{3n+2，n为偶数}\end{array}\right.$．对n分奇数偶数讨论即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{11}{2}$n，
∴当n=1时，a₁=S₁=6．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n$$-[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{11}{2}（n-1）]$=n+5，
而当n=1时也满足，∴a_n=n+5．
（2）${c}_{n=}\frac{1}{（2{a}_{n}-11）（2{a}_{n}-9）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{c_n}的前n项和为Tn=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
∵T_n+1-T_n=$\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$＞0，
∴数列{T_n}单调递增，
∴（T_n）_min=T₁=$\frac{1}{3}$．
令$\frac{1}{3}$$＞\frac{k}{2014}$，解得k＜$671\frac{1}{3}$，∴k_max=671．
（3）f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n+5，n为奇数}\\{3n+2，n为偶数}\end{array}\right.$．
当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，解得m=11．
当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，解得m=$\frac{5}{7}$∉N^*，舍去．
综上：存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．