Question

6．某学生参加3门课程的考试，假设该学生第一门课程取得优秀成绩的概率为$\frac{3}{4}$，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相可独立，记X为该生取得优秀成绩的课程数，已知p（X=0）=P（X=3）=$\frac{3}{32}$．
（1）求p、q的值；
（2）求X的数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）用A表示“该生第一门课程取得优秀成绩”，用B表示“该生第二门课程取得优秀成绩”，用C表示“该生第三门课程取得优秀成绩”，由题意得P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-p）（1-q）=$\frac{3}{32}$，P（ABC）=$\frac{3}{4}$pq=$\frac{3}{32}$，由此能求出p，q．
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望E（X）．

解答 解：（1）用A表示“该生第一门课程取得优秀成绩”，用B表示“该生第二门课程取得优秀成绩”，用C表示“该生第三门课程取得优秀成绩”，
由题意得P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=p，P（C）=q，p＞q，
P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-p）（1-q）=$\frac{3}{32}$，
P（ABC）=$\frac{3}{4}$pq=$\frac{3}{32}$，
解得p=$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{4}$．
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{3}{32}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4}$）+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{4}$+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=$\frac{3}{32}$，
∴E（X）=0×$\frac{3}{32}$+1×$\frac{13}{32}$+2×$\frac{13}{32}$+3×$\frac{3}{32}$=1.5．

点评 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．