Question

18．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]．规定90分及其以上为合格．
（Ⅰ）求图中a的值
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；
（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试，用X表示这三人中考试合格的人数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （I）根据直方图知．（0.01+0.02+0.06+0.07+a）×5=1．
（II）设事件根据直方图得出（0.06+0.02）×5=0.4．求解即可．
（III）以题意得出X的取值为0，1，2，3．
据概率公式求解得出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）．
再求解分布列得出数学期望．

解答 解：（I）由直方图知．（0.01+0.02+0.06+0.07+a）×5=1．
解得a=0.04．
（Ⅱ）设事件A为“某名学员交通考试合格”．
由直方图知，P（A）=（0.06+0.02）×5=0.4．
（III）以题意得出X的取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（1-0.4）³=0.216．
P（X=1）=${C}_{3}^{\;}1$×0.4×（0.6）²=0.432．
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（0.4）²×（0.6）=0.288．
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$×（0.4）³=0.064．
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

E（X）=0×0.216+1×0.432×2×0.288+3×0.064=1.2．

点评 本题考查了离散型的随机变量的分布列，频率分布直方图，数学期望的求解与运用，属于中档题，需要很好地计算能力．