Question

8．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，则λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{8}{9}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，
∴λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$，
则λ+μ=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$=$\frac{8}{9}$，
故选：A

点评 本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．