Question

17．已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F，G分别为B₁D，AE的中点．

（Ⅰ）求三棱锥E-ACB₁的体积；
（Ⅱ）证明：B₁E∥平面ACF；
（Ⅲ）证明：平面B₁GD⊥平面B₁DC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知，AD∥EC且AD=EC，所以四边形ADCE为平行四边形，得到AE=DC，得到∠AEC=120°，首先求出△AEC的面积，进一步求出高B₁G，利用体积公式可求；
（Ⅱ）连接ED交AC于O，连接OF，利用AEDC为菱形，且F为B₁D的中点得到FO∥B₁E，利用线面平行的判定定理可证；
（Ⅲ）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，判断AE⊥平面B₁GD，利用面面垂直的判定定理可证．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，AD∥EC且AD=EC，所以四边形ADCE为平行四边形，
∴AE=DC=a，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠AEC=120°，
∴${S_{△AEC}}=\frac{1}{2}{a^2}sin120°=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}$…（1分）
连结B₁G，则B₁G⊥AE，又平面B₁AE⊥平面AECD交线AE，
∴B₁G⊥平面AECD且${B_1}G=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$…（2分）
∴${V_{E-AC{B_1}}}={V_{{B_1}-AEC}}=\frac{1}{3}{B_1}G•{S_{△AEC}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}=\frac{a^3}{8}$…（4分）
（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，
∵AEDC为菱形，且F为B₁D的中点，
∴FO∥B₁E，…（6分）
又B₁E?面ACF，FO?平面ACF，
∴B₁E∥平面ACF   …（8分）
（Ⅲ）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，
∴AE⊥平面B₁GD．…（10分）
又AE∥DC，∴DC⊥平面B₁GD，又DC?平面B₁DC
∴平面B₁GD⊥平面B₁DC．…（12分）

点评 本题考查了三棱锥的体积公式的运用以及线面平行、面面垂直的判定定理的运用．