Question

5．已知在△ABC中，BC=5，G、O分别是△ABC的重心和外心，且$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=5，则△ABC的形状是钝角三角形．

Answer 1

分析 在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-30，又BC=5，则有|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|²＞|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，运用余弦定理即可判断三角形的形状

解答 解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：
则OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=5，
则（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}$=$-\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{BC}$=5，
即-$\frac{1}{6}$•（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=5，
则${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-30，
又BC=5，
则有|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|²＞|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；
故答案为：钝角三角形．

点评 本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键．