Question

11．已知函数g（x）=ax=$\frac{a}{x}$-5lnx，其中a∈R，函数h（x）=x²-mx+4，其中m∈R．
（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）设当a=2时，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数为增函数，转化为导函数大于等于0恒成立，分离出参数a，求出a的范围；
（2）对h（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，只要要求g（x）_max≥h（x）_max，即可，从而求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，
∴g′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{5}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-5x+a}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得ax²-5x+a＞0在x＞0上成立，
∴a＞$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$，
∵$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{5}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{5}{2}$（x=1时等号成立），
∴a＞$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）当a=2时，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
h（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，
∴要求g（x）的最大值大于h（x）的最大值即可，
g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$，x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当$\frac{1}{2}$＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∵x₁∈（0，1），
∴g（x）在x=$\frac{1}{2}$出取得极大值，也是最大值，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}+4-\frac{{m}^{2}}{4}$，
若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥$\frac{11-5ln2}{2}$，
∵$\frac{11-5ln2}{2}$＞3，故m不存在；
若m＞3时，h_max（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
则实数m的取值范围是：[8-5ln2，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、通过构造函数研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．