Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{4}{x}，x≥4}\\{lo{g}_{2}x，x＜4}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，2）
• C． [1，2）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 分类讨论：当x≥4时，f（x）=1+$\frac{4}{x}$是减函数，且1＜f（x）≤2；当x＜4时，f（x）=log₂x在（0，4）上是增函数，且f（x）＜f（4）=2；从而化方程f（x）=k的根为
函数f（x）与y=k的图象的交点；从而解得．

解答 解：①当x≥4时，
f（x）=1+$\frac{4}{x}$是减函数，且1＜f（x）≤2；
②当x＜4时，
f（x）=log₂x在（0，4）上是增函数，
且f（x）＜f（4）=2；
且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；
故实数k的取值范围是（1，2）；
故选：D．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的图象应用，属于中档题．