Question

12．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+x+lnx，a∈R．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，求此切线方程；
（Ⅱ）当a=0时，令函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2b}{x^2}$-x（b∈R且b≠0），求函数g（x）在定义域内的极值点；
（Ⅲ）令h（x）=$\frac{a}{x}$+x，对?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，都有h（x₁）-h（x₂）＜lnx₂-lnx₁成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，求出a，可得切点坐标，即可求此切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，求导数，利用极值的定义，可得函数g（x）在定义域内的极值点；
（Ⅲ）由题意，等价于f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，从而a≤x²+x在x∈[1，+∞）上恒成立，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：${f^'}（x）=-\frac{a}{x^2}+1+\frac{1}{x}$，…（1分）
∴$k={f^'}（1）=-a+2=-\frac{1}{2}$，
∴$a=\frac{5}{2}$，切点为$（1，\frac{7}{2}）$…（2分）
∴此切线方程为$y-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-8=0．…（3分）
（Ⅱ）当a=0时，$g（x）=x+lnx-\frac{1}{2b}{x^2}-x=lnx-\frac{1}{2b}{x^2}$，定义域为x∈（0，+∞），
∴${g^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{x}{b}=\frac{{b-{x^2}}}{bx}$…（4分）
①当b＜0时，∴g′（x）＞0恒成立，∴g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，
∴g（x）在定义域内无极值； …（5分）
②当b＞0时，令g′（x）=0，∴$x=\sqrt{b}$或$x=-\sqrt{b}$（舍去），

x	$（0，\sqrt{b}）$	$\sqrt{b}$	$（\sqrt{b}，+∞）$
g′（x）	+	0	-
g（x）	↑	极大值	↓

∴g（x）的极大值点为$\sqrt{b}$，无极小值点； …（7分）
综上：当b＜0时，g（x）在定义域内无极值；
当b＞0时，g（x）的极大值点为$\sqrt{b}$，无极小值点．…（8分）
（Ⅲ）∵$h（x）=\frac{a}{x}+x$，对?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，
∴$\frac{a}{x_1}+{x_1}-{x_2}-\frac{a}{x_2}＜ln{x_2}-ln{x_1}$，
∴$\frac{a}{x_1}+{x_1}+ln{x_1}＜\frac{a}{x_2}+{x_2}+ln{x_2}$，
即f（x₁）＜f（x₂），等价于f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，…（9分）
∴${f^'}（x）=-\frac{a}{x^2}+1+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}+x-a}}{x^2}≥0$在x∈[1，+∞）上恒成立，…（10分）
即a≤x²+x在x∈[1，+∞）上恒成立，…（11分）
令y=x²+x，只需a≤y_min即可．
∵y在x∈[1，+∞）上为增函数，
∴当x=1时，y_min=2，…（12分）
∴a≤2．…（13分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．