Question

3．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．
（1）若f（x）=cosx+sinx，α=$\frac{π}{2}$，求g（x）的解析式，并写出g（x）的递增区间；
（2）设f（x）=x，若g（x）≥1在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立，求常数α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=cosx+sinx，$α=\frac{π}{2}$，求出f（x+α），然后求解g（x）的解析式．得到递增区间即可．
（2）转化g（x）=x•（x+α）≥1，为$α≥\frac{1}{x}-x$，令$h（x）=\frac{1}{x}-x$，利用函数的单调性求解最值，得到a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，$α=\frac{π}{2}$，
∴f（x+α）=cosx-sinx；
∴g（x）=cos2x…（4分），
由π+2kπ≤2x≤2π+2kπ，k∈Z，可得x∈$[{\frac{1}{2}π+kπ，π+kπ}]$，（k∈Z）
递增区间为$[{\frac{1}{2}π+kπ，π+kπ}]$，（k∈Z）（注：开区间或半开区间均正确） …（6分）
（2）∵g（x）=x•（x+α）≥1，当$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$时，$α≥\frac{1}{x}-x$…（8分）
令$h（x）=\frac{1}{x}-x$，则函数y=h（x）在$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$上递减…（10分）
所以$h{（x）_{max}}=h（\frac{1}{2}）=\frac{3}{2}$…（12分）
因而，当$α≥\frac{3}{2}$时，g（x）≥1在$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$上恒成立…（14分）

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．