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    11．某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查．活动结束后，团委会对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：
    年龄（岁）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]
    频数mn151073
    知道的人数4612632
    表中所调查的居民年龄在[10，20），[20，30），[30，40）的人数成等差数列．
    （Ⅰ）求上表中的m，n值，若从年龄在[20，30）的居民中随机选取两人，求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；
    （Ⅱ）在被调查的居民中，若从年龄在[10，20），[20，30）的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座，记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

    分析 （Ⅰ）由题$\left\{\begin{array}{l}m+n=15\\ m+15=2n\end{array}\right.$解得m=5，n=10，由此利用对立事件概率计算公式能求出这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；
    （Ⅱ）随机变量ξ的所有可能值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

    解答 解：（Ⅰ）由题$\left\{\begin{array}{l}m+n=15\\ m+15=2n\end{array}\right.$解得m=5，n=10．
    记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件A，
    则$P（A）=1-\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}=1-\frac{6}{45}=\frac{13}{15}$．（4分）
    （Ⅱ）随机变量ξ的所有可能值为0，1，2，3．
    则$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^2}{C_5^2}×\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}=\frac{6}{10}×\frac{15}{45}=\frac{45}{225}=\frac{15}{75}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}+\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_4^1•C_6^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{10}•\frac{15}{45}+\frac{6}{10}•\frac{24}{45}=\frac{102}{225}=\frac{34}{75}$，$P（{ξ=2}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_4^1•C_6^1}{{C_{10}^2}}+\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{10}•\frac{24}{45}+\frac{6}{10}•\frac{6}{45}=\frac{66}{225}=\frac{22}{75}$，$P（{ξ=3}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{10}•\frac{6}{45}=\frac{12}{225}=\frac{4}{75}$．（10分）
    所以ξ的分布列是：

    ξ0123
    P$\frac{15}{75}$$\frac{34}{75}$$\frac{22}{75}$$\frac{4}{75}$
    （11分）
    所以ξ的数学期望$Eξ=0×\frac{15}{75}+1×\frac{34}{75}+2×\frac{22}{75}+3×\frac{4}{75}=\frac{6}{5}$．（12分）

    点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．

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    19．设函数f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=$\frac{x}{x+2}$，f2（x）=f（f1（x））=$\frac{x}{3x+4}$，f3（x）=f（f2（x））=$\frac{x}{7x+8}$，…．
    根据以上事实，由此归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$．

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    20．已知函数f（x）=（x+a）（bx+2a），（a，b∈R），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（　　）
    A．充分不必要条件B．必要不充分条件
    C．充分必要条件D．既充分也不必要条件

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    17．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5m3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4m3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24m3，最多载重13吨，该企业可获得最大利润是60万元．

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    6．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a≠0）．
    （1）讨论f（x）的单调性；
    （2）若f（x）+（a+1）x+4-e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）．

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    16．A和B是两家手机公司，B在技术上侵了A的权，因此，A向B方案赔，在B不赔付A的情况下，B的利润x（元）与生产量t（部）满足函数关系x=2000$\sqrt{t}$，若B每生产一部手机须赔付A s元（以下称s为赔付价格）．
    （1）实施赔付方案后，试将B的利润W（元）表示为生产量t（部）的函数，并求出B获得最大利润的生产量（赔付后实际利润=赔付前的利润-赔付款总额）；
    （2）A受B方销售影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在B按照获得最大利润的生产量进行生产的前提下，A要在索赔中获得最大净收入，应向B要求的赔付价格s是多少？（净收入=赔付款总额-经济损失金额）．

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    3．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．
    （1）若f（x）=cosx+sinx，α=$\frac{π}{2}$，求g（x）的解析式，并写出g（x）的递增区间；
    （2）设f（x）=x，若g（x）≥1在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立，求常数α的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    20．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
    （1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
    （2）若函数y=f（x）在x=1处有极值-4，且关于x的方程x2f′（x）+kex=1恰有两个不同的实根，求实数k的值；
    （3）求证：$\frac{ln2}{2}$×$\frac{ln3}{3}$×$\frac{ln4}{4}$×…×$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N*）．

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    1．等比数列{an}满足a3=16，a15=$\frac{1}{4}$，则a6=（　　）
    A．±2B．2C．4$\sqrt{2}$D．±4$\sqrt{2}$

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