Question

11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，$a=\sqrt{3}b•sinA-acosB$
（1）求角B．
（2）若b=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式得：$sinA=\sqrt{3}{sinB}•sinA-sinA•cosB$，结合A的范围，可得$sin（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，由B的范围可求得：$-\frac{π}{6}＜B-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，从而可求B的大小．
（2）由（1）及三角形面积公式可得ac=4，结合余弦定理求得a²+c²=82，联立即可解得a，c的值．

解答 （本小题满分13分）
解：（1）由$a=\sqrt{3}b•sinA-acosB$及正弦定理得：$sinA=\sqrt{3}{sinB}•sinA-sinA•cosB$，（2分）
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0，
∴$\sqrt{3}{sinB}-cosB=1$，（3分）
即$sin（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，（5分）
又∵0＜B＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜B-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$B=\frac{π}{3}$，（7分）
（2）∵$S=\frac{1}{2}acsinB=\sqrt{3}$，
∵ac=4，（19分）
又∵b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²=82，（11分）
由12联立解得：a=c=2．（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式等知识的应用，属于基本知识的考查．