Question

4．下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a₁₁=1，a₂₃=14，a₃₂=16；
a₁₁  a₁₂  a₁₃  …a_1n
a₂₁  a₂₂  a₂₃  …a_2n
…
a_n1 a_n2 a_n3 …a_nm
（1）求数列{a_n1}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{1n}}{{a}_{{n}_{1}}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_n＜m²-7m对一切nN^*都成立，求最小的正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．由a₁₁=1，a₂₃=14，a₃₂=16，可得$\left\{\begin{array}{l}{（1+2d）q=14}\\{（1+d）{q}^{2}=16}\end{array}\right.$，解得d，q．即可得出a_n1．（2）由（1）可得a_1n=a₁₁+3（n-1）=3n-2．可得b_n=$\frac{{a}_{1n}}{{a}_{{n}_{1}}}$=$\frac{3n-2}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T_n．由T_n＜m²-7m对一切n∈N^*都成立，可得m²-7m＞（T_n）_max，解出即可．

解答 解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．
∵a₁₁=1，a₂₃=14，a₃₂=16，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1+2d）q=14}\\{（1+d）{q}^{2}=16}\end{array}\right.$，解得d=3，q=2．
∴a_n1=2^n-1．
（2）由（1）可得a_1n=a₁₁+3（n-1）=3n-2．
∴b_n=$\frac{{a}_{1n}}{{a}_{{n}_{1}}}$=$\frac{3n-2}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{4}{2}+\frac{7}{{2}^{2}}$+…+$\frac{3n-2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{4}{{2}^{2}}+$…+$\frac{3n-5}{{2}^{n-1}}+\frac{3n-2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$3（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$=$3×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$-2=$4-\frac{3n+4}{{2}^{n}}$，
∴T_n=8-$\frac{3n+4}{{2}^{n-1}}$．
∵T_n＜m²-7m对一切n∈N^*都成立，
∴m²-7m＞（T_n）_max，∴m²-7m≥8，m＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m的值是8．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．