Question

12．定义min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，a≤b\\ b，a＞b\end{array}$，若f（x）=min{$\sqrt{x}$，|${\frac{1}{2}$x-1}|}，且直线y=m与y=f（x）的图象有3个交点，横坐标分别为x₁，x₂，x₃，则x₁•x₂•x₃的最大值为1．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通过解方程可用m把x₁，x₂，x₃分别表示出来，然后利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃的最大值．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$可解得A（4-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2），
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2$\sqrt{3}$-2．
不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，由|x₂-2|=2-x₂=m，
得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，
得x₃=m+2，且2-m＞0，m+2＞0，
∴x₁•x₂•x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$•（2-m）•（2+m）=$\frac{1}{4}$•m²•（4-m²）≤$\frac{1}{4}$•$（\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}×4$=1，
当且仅当m²=4-m²．即m=$\sqrt{2}$时取得等号，
∴x₁•x₂•x₃存在最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，属难题．