Question

17．给出下列四个命题：
①已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，（x为有理数）}\\{0，（x为无理数）}\end{array}\right.$，则f（x）为偶函数；
②函数y=（x+1）²+1（x≥0）与函数y=-1+$\sqrt{x-1}$（x≥1）互为反函数；
③函数f（x）=e^-xx²在x=2处取得极大值；
④已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是y=$\frac{1}{2}$x+2，则f（1）+f′（1）=3．
其中真命题的代号是①②③④（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

分析 ①．利用函数的奇偶性的定义即可判断出正误；
②．利用反函数的求法即可判断出正误；
③．利用导数研究函数的单调性极值，即可判断出正误；
④．由已知可得：f（1）=$\frac{1}{2}+2$，f′（1）=$\frac{1}{2}$，即可判断出正误．

解答 解：①已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，（x为有理数）}\\{0，（x为无理数）}\end{array}\right.$，设x为有理数，则-x也为有理数，∴f（-x）=1=f（x），同理当x为无理数时，也有f（-x）=f（x）=0，因此f（x）为偶函数，因此正确；
②由函数y=（x+1）²+1（x≥0），解出x=-1+$\sqrt{y-1}$，把x与y互换可得：y=-1+$\sqrt{x-1}$（x≥1），因此函数y=（x+1）²+1（x≥0）与函数y=-1+$\sqrt{x-1}$（x≥1）互为反函数，正确；
③函数f（x）=e^-xx²，f′（x）=-e^-xx²+2xe^-x=xe^-x（2-x），当x＞2时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，因此x=2处取得极大值，正确；
④已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是y=$\frac{1}{2}$x+2，则f（1）=$\frac{1}{2}+2$，f′（1）=$\frac{1}{2}$，∴f（1）+f′（1）=3，因此正确．
其中真命题的代号是 ①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了函数的奇偶性的定义、反函数的求法、利用导数研究函数的单调性极值切线方程及其几何意义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．