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    若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
    （1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离；
    （3）已知函数f（x）的定义域．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
    【答案】分析：（1）根据定义可得|x2-1|＞1再按照绝对值不等式的解法求解．
    （2）证明：易知∵成立，再两边同乘以ab得到要证明的问题．
    （3）根据定义可得，再由正弦函数和余弦函数的性质进行探讨．
    解答：解：（1）根据定义可得：|x2-1|＞1
    ∴x2-1＞1或x2-1＜-1
    解得
    （2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离
    即证|a3+b3-|＞|a2b+ab2-|，又任意两个不相等的正数a、b
    即证
    由于，＞0
    ∴
    即证成立
    ∴|a3+b3-|＞|a2b+ab2-|
    （3）由题意知
    性质：①函数是偶函数；
    ②周期T=
    ③在区间k∈z是增函数，在k∈z是减函数
    ④最大值为1，最小值为
    ⑤定义域
    点评：本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，构造新函数并研究其性质，设置新颖，考查丰富，是一道好题．
    练习册系列答案
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    若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
    （1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
    		ab
    ；
    （3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y靠近m．
    （Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求实数x的取值范围；
    （Ⅱ）①对任意x＞0，证明：ln（1+x）比x靠近0；②已知数列{an}的通项公式为an=1+21-n，证明：a1a2a3…an＜2e．

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    （2012•烟台一模）若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．若x2-1比1远离0，则x的取值范围是
    (-∞，-
    		2
    )∪(
    		2
    ，+∞)
    (-∞，-
    		2
    )∪(
    		2
    ，+∞)
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y更接近m．
    （1）若x2比4更接近1，求x的取值范围；
    （2）a＞0时，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
    （1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
    		ab
    ．

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