Question

【题目】已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上的一个动点，则周长的最小值等于____________.

Answer 1

【答案】4

【解析】

先由双曲线的几何性质写出B和F的坐标，并求得|BF|的长，然后设双曲线的左焦点为E，由双曲线的定义可知，|PF|﹣|PE|＝2a，而△BPF的周长为|BF|+|PF|+|PB|＝|BF|+2a+（|PE|+|PB|），求出|PE|+|PB|的最小值即可得△BPF周长的最小值，当且仅当B、P、E三点共线时，可得解．

∵双曲线，∴F，

如图所示，不妨设B为x轴上方的虚轴端点，则B（0，1），|BF|＝2，

设双曲线的左焦点为E，由双曲线的定义可知，|PF|﹣|PE|＝2a，即|PF|＝|PE|，

∴△BPF的周长为|BF|+|PF|+|PB|＝|BF|+（|PE|）+|PB|＝2|PE|+|PB|≥2|BE|＝4，

当且仅当B、P、E三点共线时，等号成立．

所以△BPF周长的最小值等于4．

故答案为：4．