Question

设函数f(x)=

1

3

x3-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；
（2）当b=

1-a

2

时，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求实数a的取值范围；
（3）当a=1，b=0时，求函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[t，t+3]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导数，根据曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同切线，建立方程，即可求实数a，b的值；
（2）求导数，确定h（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，再利用函数h（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0.

，即可求实数a的取值范围；
（3）确定函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1），分类讨论，即可得出函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[t，t+3]上的最小值．

解答：解：（1）因为f(x)=

1

3

x3-ax，g（x）=bx²+2b-1，
所以f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx．…（1分）
因为曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同切线，
所以f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1）．
即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，…（2分）
解得a=

1

3

，b=

1

3

．…（3分）
（2）当a=1-2b时，h(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0），
所以h'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）．…（4分）
令h'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0．
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）．…（5分）
故h（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减．…（6分）
从而函数h（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当 

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0.

…（7分）
即

- 8 3 +2(1-a)+2a-a＜0 - 1 3 + 1-a 2 +a-a＞0 -a＜0.

解得0＜a＜

1

3

．
所以实数a的取值范围是(0，

1

3

)．…（8分）
（3）当a=1，b=0时，h(x)=

1

3

x3-x-1．
所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
由于h(-2)=-

5

3

，h(1)=-

5

3

，所以h（-2）=h（1）．…（9分）
①当t+3＜1，即t＜-2时，…（10分）[h（x）]_min=h(t)=

1

3

t3-t-1．…ks5u…（11分）
②当-2≤t＜1时，[h（x）]_min=h(1)=-

5

3

．…（12分）
③当t≥1时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，[h（x）]_min=h(t)=

1

3

t3-t-1．…（13分）
综上可知，函数h（x）在区间[t，t+3]上的最小值为[h（x）]_min=

1 3 t3-t-1，t∈(-∞，-2)∪[1，+∞) - 5 3 ，t∈[-2，1).

…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．