Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，记b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用S_n+1-S_n可知a_n+1=2n+1，进而可知数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）解：∵S_n=n²，
∴S_n+1=（n+1）²，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2n+1，
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）证明：由（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+5•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{{3}^{n+1}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$）=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$＜1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．