Question

14．关于x的不等式|$\frac{{x}^{2}-kx+k}{{x}^{2}-x+3}$|＜3对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 由于x²-x+3=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$＞0恒成立，即有-3（x²-x+3）＜x²-kx+k＜3（x²-x+3）恒成立，由二次不等式恒成立，运用判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由于x²-x+3=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$＞0恒成立，
则x的不等式|$\frac{{x}^{2}-kx+k}{{x}^{2}-x+3}$|＜3恒成立，即为
-3（x²-x+3）＜x²-kx+k＜3（x²-x+3）恒成立，
由4x²-（3+k）x+9+k＞0恒成立，可得（3+k）²-16（9+k）＜0，
解得5-4$\sqrt{10}$＜k＜5+4$\sqrt{10}$；
由2x²+（k-3）x+9-k＞0，可得（k-3）²-8（9-k）＜0，
解得-9＜k＜7．
综上可得5-4$\sqrt{10}$＜k＜7．

点评 本题考查不等式的恒成立问题，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．