Question

19．若S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ，用错位相减法求S_n的值．

Answer 1

分析 当a=1时直接利用等差数列的求和公式计算即得结论，当a≠1时通过S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ与aS_n=a²+2a³+…+（n-1）aⁿ+naⁿ⁺¹错位相减、计算即得结论．

解答 解：对a（a≠0）的值进行讨论：
①当a=1时，S_n=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
②当a≠1时，1-a≠0，
∵S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ，
∴aS_n=a²+2a³+…+（n-1）aⁿ+naⁿ⁺¹，
两式相减得：（1-a）S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹
=$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$-naⁿ⁺¹
=$\frac{a}{1-a}$-$\frac{1}{1-a}$•aⁿ⁺¹-naⁿ⁺¹
=$\frac{a}{1-a}$-$\frac{1+n-na}{1-a}$•aⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{a}{（1-a）^{2}}$-$\frac{1+n-na}{（1-a）^{2}}$•aⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的求和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于基础题．