Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1+cos2x}{2sin（\frac{π}{2}-x）}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）的最小值为-$\sqrt{2}$-4，试确定常数a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=（a²+$\sqrt{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数y=f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）及题意可得：-（a²+$\sqrt{2}$）=-$\sqrt{2}$-4，从而解得a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+cos2x}{2sin（\frac{π}{2}-x）}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）=cosx+sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²（sinx+cosx）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²+1）（sinx+cosx）=（a²+$\sqrt{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数y=f（x）的单调递增区间为：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）∵sin（$\frac{π}{2}$-x）≠0，解得：x≠$\frac{π}{2}$-kπ，k∈Z，
∴由（1）及题意可得：当x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时，即x=2kπ$-\frac{3π}{4}$时，有：-（a²+$\sqrt{2}$）=-$\sqrt{2}$-4，
∴解得：a=±2．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．