Question

17．已知直线l过点M（1，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交与点A，B，则当|MA|²+|MB|²取得最小值时，直线l的方程为x+y-2=0．

Answer 1

分析 设直线方程为y-1=k（x-1）（k＞0），则A（-$\frac{1}{k}$+1，0），B（0，1-k），可得|MA|²+|MB|²=（-$\frac{1}{k}$）²+1+1+（-k）²=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设直线方程为y-1=k（x-1）（k＞0），则A（-$\frac{1}{k}$+1，0），B（0，1-k），
∴|MA|²+|MB|²=（-$\frac{1}{k}$）²+1+1+（-k）²=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2+2=4，
当且仅当k²=1时取等号，此时k=-1，
∴当|MA|²+|MB|²取得最小值时，直线l的方程为y-1=-x+1，即x+y-2=0，
故答案为：x+y-2=0．

点评 本题考查直线方程，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．