Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-(a-1)x2+b2x，其中a，b为常数．
（1）当a=6，b=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）将a=6，b=3代入，我们易求出函数的解析式，求出函数的导函数后，令导函数的函数值大于等于0，由此构造关于x的不等式，解不等式即可得到函数f（x）的单调递增区间；
（2）这是一个几何概型问题，我们可以先画出a∈[0，4]，b∈[0，3]，对应的平面区域的面积，然后再求出满足条件函数f（x）在R上是增函数时对应的平面区域的面积，计算出对应的面积后，代入几何概型公式即可得到答案．

解答：解：（1）当a=6，b=3时，f(x)=

1

3

x3-5x2+9x，f'（x）=x²-10x+9
令f'（x）=x²-10x+9≥0，（x-1）（x-9）≥0，解得x≤1或x≥9，
故函数f（x）的单调递增区间分别为（-∞，1]和[9，+∞）
（2）f'（x）=x²-2（a-1）x+b²
若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4（a-1）²-4b²≤0，即（a+b-1）（a-b-1）≤0
设“f（x）在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为（a，b）|（a+b-1）（a-b-1）≤0
全部试验结果构成的区域Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如图．
所以，P(A)=

S阴影

SΩ

=

3×4- 1 2 ×1×1- 1 2 ×3×3

3×4

=

7

12

故函数f（x）在R上是增函数的概率为

7

12

．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，几何概型及概率的应用，其中利用导函数大于等于0，则函数在该区间上单调递增，是解答本题的关键．