【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)当,且
时,求证:
.
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ).………………1分
当时,
,则
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减.………………2分
当时,令
,得
或
.
①当时,
,则当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减;
②当时,
,
恒成立,
在
上单调递减,无增区间;………………4分
综上,当时,
的单调减区间是
,单调增区间是
;当
时,
的单调减区间是
,单调增区间是
;当
时,
的单调减区间是
,无增区间.………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,则为了证明:
,
只需证明,
即证:.………………6分
令,则
.………………7分
令,则
.………………8分
因为,且
,所以
,
,
所以,………………9分
所以在
上单调递增,则
,即
,
所以函数在
上单调递增,
,………………10分
即不等式成立,
故不等式成立.………………12分
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数在不等式中的应用,意在考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及分类讨论思想.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠ADC=90°,平面ABCD外一点P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上, PA=AD=2 BC=2,CD=.
(1)若平面PQB⊥平面PAD,求证:Q为线段AD中点;
(2)在(1)的条件下,若M在线段PC上,且PA∥平面BMQ,求点M到平面PAB的距离.
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【题目】一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标示着数字1,2,3,4,一个质地均匀的骰子(正方体)的六个面上分别标示数字1,2,3,4,5,6,先后抛掷一次正四面体和骰子.
(1)列举出全部基本事件;
(2)求被压在底部的两个数字之和小于5的概率;
(3)求正四面体上被压住的数字不小于骰子上被压住的数字的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为
(
为参数,
).
(Ⅰ)当时,若曲线
上存在
两点关于点
成中心对称,求直线
的参数方程;
(Ⅱ)在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,极坐标方程为
的直线
与曲线
相交于
两点,若
,求实数
的值.
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【题目】已知函数 (a>0,a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)当x∈(n,a﹣2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值.
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【题目】已知椭圆:
的左焦点为
,设
是椭圆
的两个短轴端点,
是椭圆
的长轴左端点.
(Ⅰ)当时,设点
,直线
交椭圆
于
,且直线
的斜率分别为
,求
的值;
(Ⅱ)当时,若经过
的直线
与椭圆
交于
两点,O为坐标原点,求
与
的面积之差的最大值.
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【题目】某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关,对100名高三学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(Ⅰ)请将上述列联表补充完整;
(Ⅱ)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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