Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设AC、BD相交于点F，连结EF，由已知条件得EF∥PC，由此能证明PC∥平面EBD．
（2）由已知条件得△ACD是边长为2的正三角形，由PA⊥底面ABCD，得PA为三棱锥P-ACD的高，由此能求出三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD．

解答： （1）证明：设AC、BD相交于点F，连结EF，
∵底面ABCD为菱形，∴F为AC的中点，
又∵E为PA的中点，∴EF∥PC，…（3分）
又∵EF不包含于平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD． …（6分）
（2）解：因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
所以△ACD是边长为2的正三角形，…（8分）
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA为三棱锥P-ACD的高，
所以，V_C-PAD=

1

3

S△ACD•PA=

1

3

×

3

4

×22×2=

2 3

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．