Question

如图所示，在五面体ABCDE中，EA=ED=EC=2，且EA，ED，EC两两垂直，AB∥CE，AB=1，F为CD的中点．
（1）求五面体ABCDE的体积．
（2）求证：BF∥平面ADE．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）五面体ABCDE为四棱锥D-ABCE，其中高为DE=2，底面为直角梯形ABCE，由此能求出五面体ABCDE的体积．
（2）取DE中点G，连结AG，GF，由已知条件推导出四边形ABFG为平行四边形，从而BF∥AG，由此能证明BF∥平面ADE．

解答： （1）解：五面体ABCDE为四棱锥D-ABCE，
其中高为DE=2，
底面为直角梯形ABCE，
共面积为S=

1

2

(1+2)×2=3，
∴五面体ABCDE的体积V=

1

3

sh=

1

3

×3×2=2．
（2）证明：如图，取DE中点G，连结AG，GF，
则GF∥EG，且GF=

1

2

EC，
又AB∥EC，且AB=

1

2

EC，
∴四边形ABFG为平行四边形，从而BF∥AG，
又AG?平面ADE，BF不包含于平面ADE，
∴BF∥平面ADE．

点评：本题考查五面体的体积的求法，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．