Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

m

=（b，c），

n

=（cosC，sinB），a=

m

•

n

．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出a，得到关系式，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，变形求出tanB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积S，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出面积的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

=（b，c），

n

=（cosC，sinB），
∴a=

m

•

n

=bcosC+csinB，
由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB，
又∵A=π-（B+C），
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
即cosBsinC=sinCsinB，
∵sinC≠0，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
则B=

π

4

；
（2）∵sinB=

2

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

2

4

ac，
由已知及余弦定理得：4=b²=a²+c²-2accos

π

4

=a²+c²-

2

ac，即a²+c²=4+

2

ac，
又∵a²+c²=4+

2

ac≥2ac，
∴ac≤

4

2- 2

，即

2

4

ac≤

2

4

×

4

2- 2

=

2

+1，
则△ABC面积的最大值为

2

+1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．