Question

5．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+x，x＜0\\-{x^2}，x≥0\end{array}\right.$，g（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=x²-2x-5，若f（g（a））≤2，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-1}]∪[{0，2\sqrt{2}-1}]$
• B． $[{-1，2\sqrt{2}-1}]$
• C． （-∞，-1]∪（0，3]
• D． [-1，3]

Answer 1

分析 先将不等式转化为g（a）≥-2，再根据函数的解析式，分类求解．

解答 解：设x＞0，则-x＜0，g（x）=-g（-x）=-x²-2x+5，
由题意，a＜0，a²+a=2，∴a=-2，
∵f（g（a））≤2，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+x，x＜0\\-{x^2}，x≥0\end{array}\right.$，∴g（a）≥-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a}^{2}-2a-5≥-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-{a}^{2}-2a+5≥-2}\end{array}\right.$或a=0，
∴a≤-1或0≤a≤2$\sqrt{2}$-1，
故选A．

点评 本题考查不等式的解法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．