Question

17．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

Answer 1

分析 （Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；
（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；
（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）当n=19时，
y=$\left\{\begin{array}{l}19×200，x≤19\\ 19×200+（x-19）×500，x＞19\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}3800，x≤19\\ 500x-5700，x＞19\end{array}\right.$
（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，
更换的易损零件数为17个频率为0.16，
更换的易损零件数为18个频率为0.24，
更换的易损零件数为19个频率为0.24
又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．
则n≥19 
∴n的最小值为19件；
 （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，
所须费用平均数为：$\frac{1}{100}$（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）
 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，
所须费用平均数为$\frac{1}{100}$（90×4000+10×4500）=4050（元）
∵4000＜4050 
∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．