Question

8．设函数f（x）=xe^a-x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，
∴当x=2时，y=2（e-1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同时f′（2）=e-1，
∵f（x）=xe^a-x+bx，
∴f′（x）=e^a-x-xe^a-x+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2{e}^{a-2}+2b=2e+2}\\{f'（2）={e}^{a-2}-2{e}^{a-2}+b=e-1}\end{array}\right.$，
即a=2，b=e；
（Ⅱ）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe^2-x+ex，
∴f′（x）=e^2-x-xe^2-x+e=（1-x）e^2-x+e=（1-x+e^x-1）e^2-x，
∵e^2-x＞0，
∴1-x+e^x-1与f′（x）同号，
令g（x）=1-x+e^x-1，
则g′（x）=-1+e^x-1，
由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数，
由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数，
则当x=1时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）=1，
则g（x）≥g（1）=1＞0，
故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（-∞，+∞），无递减区间．

点评 本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．