Question

19．（Ⅰ）讨论函数f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）e^x+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=$\frac{{e}^{x}-ax-a}{{x}^{2}}$（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

Answer 1

分析 从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可

解答 解：（1）证明：f（x）=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}$
f'（x）=e^x（$\frac{x-2}{x+2}+\frac{4}{（x+2）^{2}}$）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}$
∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增
∴x＞0时，$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}$＞f（0）=-1
即（x-2）e^x+x+2＞0
（2）g'（x）=$\frac{（{e}^{x}-a）{x}^{2}-2x（{e}^{x}-ax-a）}{{x}^{4}}$
=$\frac{x（x{e}^{x}-2{e}^{x}+ax+2a）}{{x}^{4}}$=$\frac{（x+2）（\frac{x-2}{x+2}•{e}^{x}+a）}{{x}^{3}}$ 
a∈[0，1）
由（1）知，当x＞0时，f（x）=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}$的值域为（-1，+∞），只有一解使得
$\frac{t-2}{t+2}•{e}^{t}=-a$，
只需$\frac{t-2}{t+2}$•e^t≤0恒成立，可得-2＜t≤2，
由x＞0，可得
t∈（0，2]
当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；
当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；
h（a）=$\frac{{e}^{t}-a（t+1）}{{t}^{2}}$=$\frac{{e}^{t}+（t+1）\frac{t-2}{t+2}•{e}^{t}}{{t}^{2}}$=$\frac{{e}^{t}}{t+2}$
记k（t）=$\frac{{e}^{t}}{t+2}$，在t∈（0，2]时，k'（t）=$\frac{{e}^{t}（t+1）}{（t+2）^{2}}$＞0，
故k（t）单调递增，
所以h（a）=k（t）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$]．

点评 该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，难度较大．