Question

8．若b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$，求S_n．

Answer 1

分析 运用$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），由裂项相消求和方法，化简整理即可得到所求．

解答 解：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．