【题目】已知抛物线上一点
到焦点
的距离
.
(1)求的方程;
(2)过的直线
与
相交于
,
两点,
的垂直平分线
与
相交于
,
两点,若
,求直线
的方程.
【答案】:(1);(2)
或
【解析】
(1)由抛物线的定义,得,代入抛物线
的方程,求得
,即可求得抛物线的方程;
(2)由题意可知,设的方程为
,联立方程组,求得
,
,得到
的中点
的坐标和弦长
,把直线
的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理,弦长公式求得
,由于
垂直平分线段
,故
四点共圆等价于
,由此求得
的值,可得直线
的方程.
解:(1)由抛物线的定义,得,又
,
∴,即
,∴
.
∵在抛物线
上,
∴,解得
(舍去)或
.
故的方程为
.
(2)由题意可知,直线的斜率存在,且不等于0,故可设
的方程为
,由
消去
并整理,得
.
其判别式
设,
,则
∴.
∴的中点
的坐标为
,
.
又的斜率为
,其方程为
即
由消去
并整理,得
,
其判别式
设,
,则
,
∴.
∴的中点
的坐标为
∵,∴
即
,∴
.
又,∴
,
即
化简,得解得
.
故所求直线的方程为
,即
或
.
解法二:由得:
,
.
,
,
,
.
∴,
∴
由对称性有,所以也有
.
即,
是方程
的两根,所以
,又因为
,∴
,解得:
.
故所求直线的方程为
,即
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直方图:
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差
(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用(i)的结果,求
.
附:
若则
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图(1),等腰梯形,
,
,
,
、
分别是
的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线
、
折起,使得点
和点
重合,记为点
,如图(2).
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆
过点
,且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(I)求椭圆C的离心率和标准方程。
(II)圆与椭圆C交于A,B两点,R为线段AB上任一点,直线
交椭圆C于P,Q两点,若AB为圆
的直径,且直线
的斜率大于1,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作,要求每一个地方至少安排一名志愿者,其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作,则不同的安排方法共有
A. 24种B. 30种C. 32种D. 36种
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求
的最大值点
.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为
的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求
;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系
,点A为曲线
上的动点,点B在线段OA的延长线上,且满足
,点B的轨迹为
.
(1)求,
的极坐标方程;
(2)设点C的极坐标为(2,0),求△ABC面积的最小值.
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