Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F₁，F₂，离心率e=

2

2

，P为椭圆上任一点，且△PF₁F₂的最大面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，且以AB为直径的圆恒过原点O，若实数m满足条件

AO

•

AB

=

m

tan∠OAB

，求m的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

e= c a = 2 2 Smax=bc=1 a2=b2+c2

，由此能求了出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程y=kx+n，由

x2+2y2=2 y=kx+n

，得：（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-4kn

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．求出m=|

AO

|•|

AB

|sin∠OAB=2S_△OAB．要求m的最大值，只需求S_△OAB的最大值，由此能求出m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F₁，F₂，
离心率e=

2

2

，P为椭圆上任一点，且△PF₁F₂的最大面积为1，
∴

e= c a = 2 2 Smax=bc=1 a2=b2+c2

，解得：a=

2

，b=1，c=1，
所以椭圆C的方程

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设直线l的方程y=kx+n，
由

x2+2y2=2 y=kx+n

，得：（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-4kn

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．
由于以AB为直径的圆恒过原点O，
于是

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（kx₁+n）（kx₂+n）
=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2
=

n2-2k2

2k2+1

，
于是：

2n2-2

2k2+1

+

n2-2k2

2k2+1

=0，即3n²-2k²-2=0，
依题意有：

AO

•

AB

=

m

tan∠OAB

，即|

AO

|•|

AB

|cos∠OAB=

m

tan∠OAB

．
化简得：m=|

AO

|•|

AB

|sin∠OAB=2S_△OAB．
因此，要求m的最大值，只需求S_△OAB的最大值，下面开始求S_△OAB的最大值：
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -4kn 2k2+1 )2-4× 2n2-2 2k2+1

=

1+k2

•

16k2-8n2+8

2k2+1

．
点O到直线AB的距离d=

|n|

1+k2

，
于是：S△OAB=

1

2

|AB|d
=

1

2

•

n2(16k2-8n2+8)

2k2+1

．
又因为3n²-2k²-2=0，所以2k²=3n²-2，
代入得S△OAB=

1

2

•

n2(16n2-8)

3n2-1

=

2

•

2n4-n2

3n2-1

．令t=3n²-1，得n²=

t+1

3

，
于是：S△OAB=

2

•

2 9 (t+1)2- t+1 3

t

=

2

•

2 9 t2+ 1 9 t- 1 9

t

=

2

•

1 9 (- 1 t2 + 1 t +2)

．
当

1

t

=

1

2

，即t=2，即n=±1时，
S_△OAB取最大值，且最大值为

2

2

．
所以m的最大值为

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．