Question

16．已知函数f（x）=log₂$\frac{x+2}{x-2}$，g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x），且p＞2，设F（x）=g（x）+f（x）．
（1）求F（x）的定义域；
（2）求F（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意和真数大于零列出不等式组，求出不等式组的解集可得F（x）的定义域；
（2）由题意和对数的运算化简F（x）的解析式，由F（x）的定义域对p进行分类讨论，根据一元二次函数的性质分别求出真数的范围，由对数函数的性质求出F（x）的值域．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=log₂$\frac{x+2}{x-2}$，g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x），
因为F（x）=g（x）+f（x），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{x-2}＞0}\\{x-2＞0}\\{p-x＞0}\end{array}\right.$，
又p＞2，解得2＜x＜p，
所以F（x）的定义域是（2，p）；
（2）由题意得，F（x）=log₂$\frac{x+2}{x-2}$+log₂（x-2）+log₂（p-x）
=log₂（x+2）（p-x），且x∈（2，p），
设h（x）=（x+2）（p-x）=-x²+（p-2）x+2p，
则x=$\frac{p-2}{2}$∈（0，p），
①当2＜p＜6时，$\frac{p-2}{2}$＜2，则函数h（x）在（2，p）上递减，
所以0＜h（x）＜4（p-2），所以函数F（x）的值域是（-∞，log₂[4（p-2）]；
②当p≥6时，$\frac{p-2}{2}$≥2，则函数h（x）在（2，$\frac{p-2}{2}$）上递增，在（$\frac{p-2}{2}$，p）上递减，
所以当x=$\frac{p-2}{2}$时，h（x）取最大值h（$\frac{p-2}{2}$）=（$\frac{p-2}{2}$+2）（p-$\frac{p-2}{2}$）=$\frac{（p+2）^{2}}{4}$，
则0＜h（x）＜$\frac{（p+2）^{2}}{4}$，所以函数F（x）的值域是（-∞，log₂$\frac{（p+2）^{2}}{4}$]．

点评 本题考查对数函数的定义域、性质，以及一元二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题题．