【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在两个极值点
,求证:无论实数
取什么值都有
.
【答案】(1)答案见解析; (2)证明过程见解析.
【解析】
试题分析:(1)先求得定义域为,求导通分后研究导函数的分子,利用判别式对分子根的个数和分布进行分类讨论,由此求得函数的单调区间;(2)由(1)知
时有两个极值点,且
,由此利用差比较法,计算
的最小值为
,即可得证.
试题解析:(1)函数的定义域为.
,记
,判别式
.
①当即
时,
恒成立,
,所以
在区间
上单调递增.
②当或
时,方程
有两个不同的实数根
,记
,
,显然
(ⅰ)若,
图象的对称轴
,
.
两根在区间
上,可知当
时函数
单调递增,
,所以
,所以
在区间
上递增.
(ⅱ)若,则
图象的对称轴
,
.,所以
,当
时,
,所以
,所以
在
上单调递减.当
或
时,
,所以
,所以
在
上单调递增.
综上,当时,
在区间
上单调递增;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由(1)知当时,
没有极值点,当
时,
有两个极值点
,且
.
,
∴又
,
.记
,
,则
,所以
在
时单调递增,
,所以
,所以
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】据悉遵义市红花岗区、汇川区2017年现有人口总数为110万人,如果年自然增长率为%,试解答以下问题:
(1)写出经过年后,遵义市人口总数
(单位:万人)关于
的函数关系式;
(2)计算10年以后遵义市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算经过多少年后遵义市人口将达到150万人(精确到1年)
(参考数据:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数的定义域为D,若函数
满足条件:存在
,使
在
上的值域为
,则称
为“倍缩函数”,若函数
为“倍缩函数”,则实数
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
的左焦点为
,其左、右顶点为
、
,椭圆与
轴正半轴的交点为
,
的外接圆的圆心
在直线
上.
(I)求椭圆的方程;
(II)已知直线:
,
是椭圆
上的动点,
,垂足为
,是否存在点
,使得
为等腰三角形?若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线,圆
,点
为抛物线
上的动点,
为坐标原点,线段
的中点
的轨迹为曲线
.
(1)求抛物线的方程;
(2)点是曲线
上的点,过点
作圆
的两条切线,分别与
轴交于
两点.
求面积的最小值.
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【题目】为了增强环保意识,某社团从男生中随机抽取了60人,从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 | 40 | 20 | 60 |
女生 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
(1)试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;
(2)为参加市举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为,若随机变量
表示这3人中通过预选赛的人数,求
的分布列与数学期望.
附:=
0.500 | 0.400 | 0.100 | 0.010 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤),采用分段计费的方法计算:电费每月用电不超过100度时,按每度0.57元计算;每月用电量超过100度时,其中的100度仍按原标准收费,超过的部分每度按0.5元计算.
(Ⅰ)设月用电度时,应交电费
元,写出
关于
的函数关系式;
(Ⅱ)小明家第一季度缴纳电费情况如下:
月份 | 一月 | 二月 | 三月 | 合计 |
交费金额 | 76元 | 63元 | 45.6元 | 184.6元 |
问小明家第一季度共用电多少度?
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【题目】某种产品的广告费用支出与销售额
之间有如下的对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关?
(2)请根据上表提供的数据,求回归直线方程;
(3)据此估计广告费用为10时,销售收入的值.
(参考公式:,).
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
上的最大值;
(2)令,若
在区间
上为单调递增函数,求
的取值范围;
(3)当时,函数
的图象与
轴交于两点
,且
,又
是
的导函数.若正常数
满足条件
.试比较
与0的关系,并给出理由.
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