Question

【题目】已知函数 .

（1）当时，求函数在点处的切线方程.

（2）求函数的单调区间.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）函数的定义域，当时，计算可得：，，则切线方程为.

（2），考查二次函数，分类讨论：

①若，在上单调递增，在上单调递减.

②若，为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域上.则：

（i）若，函数在和上单调递增，在上单调递减.

（ii）若，在上单调递增.

（iii）若，函数在和上单调递增，在上单调递减.

试题解析：

（1）函数的定义域，

当时，，，

，∴切线方程为.

（2），

易知，令，

①若，，∴在上单调递增，在上单调递减.

②若，为开口向上的二次函数，零点分别为0，，其中，

即的两个零点均在定义域上.

（i）若，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.

（ii）若，，图象恒在轴上方，恒成立，∴在上单调递增.

（iii）若，，∴函数在和上单调递增，在上单调递减.