Question

2．已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若函数h（x）=f（x）-g（x）有3个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出h（x）的导数，求出单调区间、极值，函数h（x）有3个不同的零点，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=axe^x（x+$\frac{2a+1}{a}$），且a＜0，
∴当a∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，-$\frac{2a+1}{a}$）上是增函数，在（-$\frac{2a+1}{a}$，+∞）上是减函数，
当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）时，f（x）在（-∞，-$\frac{2a+1}{a}$）上是减函数，在（-$\frac{2a+1}{a}$，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数；
（2）由h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m），
则h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）=-（e^x+1）（x²+x），
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1，
∴h（x）在x=-1处取得极小值h（-1）=-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$-m，在x=0处取得极大值h（0）=-1-m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＜0}\\{h（0）＞0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}-m＜0}\\{-1-m＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$＜m＜-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．