Question

2．已知：如图所示，一个圆锥的底面半径为30，高为40，在其中有一个高为20的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求圆柱与圆锥的体积之比．

Answer 1

分析 （1）画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，易得到圆柱的底面半径，然后求解圆柱的侧面积．
（2）求出圆锥与圆柱的体积，即可得到比值．

解答 解：（1）根据已知，如下图所示：AO=30，EG=20，SO=40，
△SED∽△SAO，可得$\frac{ED}{AO}=\frac{SD}{SO}$，ED=$\frac{30×20}{40}$=15．
则圆柱的侧面积为：2×15π×20=600π．
（2）圆锥的体积为：$\frac{1}{3}×{30}^{2}×40π$=12000π．
圆柱的体积：15²×20π．
圆柱与圆锥的体积之比：$\frac{{15}^{2}×20π}{12000π}$=$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查的知识点是圆锥的几何特征及圆锥及圆柱的侧面积公式，体积公式．将空间问题转化为平面问题是解答立体几何题最常用的思路．