Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=（1，x），$\overrightarrow{b}$=（x²+x，-x），当m＜1时 求不等式m（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²-（m+1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1＜0的解集．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的坐标表示，由二次不等式的解法，对m讨论，当m=0，m＜0，0＜m＜1，解出不等式即可得到解集．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（1，x），$\overrightarrow{b}$=（x²+x，-x），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x²+x-x²=x，
不等式m（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²-（m+1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1＜0，即为
mx²-（m+1）x+1＜0，
即为（mx-1）（x-1）＜0，
当m=0时，-（x-1）＜0，解得x＞1；
当m＜0时，即有（x-$\frac{1}{m}$）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜$\frac{1}{m}$；
当0＜m＜1时，即有（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＜0，解得1＜x＜$\frac{1}{m}$．
综上可得，m＜0时的解集为（-∞，$\frac{1}{m}$）∪（1，+∞）；
当m=0时的解集为（1，+∞）；
当0＜m＜1时的解集为（1，$\frac{1}{m}$）．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查二次不等式的解法，注意讨论m的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．