Question

17．在平面直角坐标系中，已知A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），C（$\sqrt{3}$，1），则以下命题：
①若点P是△ABC的三边垂直平分线的交点，则$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$；
②若点P是△ABC的三条中线的交点，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
③若点P是△ABC三条内角平分线的交点，则$\sqrt{3}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．
正确的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①先根据A，B，C三点坐标可知△ABC为Rt△，BC⊥AC，画出图形便可看出P为AB中点，从而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$正确；
②根据向量加法的平行四边形法则及重心的性质便可判断该命题正确；
③该命题中，P为△ABC的三条内角平分线交点，而根据A，B，C的坐标便可得出∠BAC=60°，从而可以求出直线PC和PA的倾斜角，从而可以写出这两直线的方程，联立方程便可解出P点的坐标，然后便可得到向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$的坐标，从而可以求出$\sqrt{3}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$的坐标，便可判断该命题的正误．

解答 解：①如图，根据A，B，C三点的坐标便知AC⊥BC，△ABC是直角三角形；

P点是△ABC三边垂直平分线的交点；
∴P点为边AB的中点；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$；
②如图，P为△ABC三条中线的交点，设AB中点为D，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{CP}$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
③如图，P是△ABC三条内角平分线的交点，根据A，B，C三点坐标知：∠BAC=60°；
∴直线PA的倾斜角为120°，PC的倾斜角为45°；
∴直线PA的方程为：$y=-\sqrt{3}（x-\sqrt{3}）$，直线PC的方程为：$y-1=x-\sqrt{3}$；
∴联立这两个方程组解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{3-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{PA}=（\frac{\sqrt{3}-1}{2}，\frac{\sqrt{3}-3}{2}）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{\sqrt{3}+1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$，$\overrightarrow{PC}=（\frac{\sqrt{3}-1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$；
∴$\sqrt{3}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$=$（\frac{3-\sqrt{3}}{2}，\frac{3-3\sqrt{3}}{2}）+（-\frac{\sqrt{3}+1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$$+（\sqrt{3}-1，\sqrt{3}-1）$=（0，0）=$\overrightarrow{0}$；
∴这三个命题都正确．
故选：D．

点评 考查三角形中位线的性质，相反向量的概念，三角形重心的概念，重心的性质：到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，向量加法的平行四边形法则，直线倾斜角和斜率的概念，直线的点斜式方程，以及向量坐标的加法和数乘运算．