Question

2．已知平面上一定点C（2，0）和直线l：x=8，P为该平面上一点，作PQ⊥l，垂足为点Q，且（$\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0，则点P到点C的距离的最大值是6．

Answer 1

分析 设P（x，y），则Q（8，y），利用（$\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0，可得${\overrightarrow{PC}}^{2}$-$\frac{1}{4}{\overrightarrow{PQ}}^{2}$=0，化为：3x²+4y²=48．-4≤x≤4．可得$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+12-\frac{3}{4}{x}^{2}}$，即可得出．

解答 解：设P（x，y），则Q（8，y），∴$\overrightarrow{PC}$=（2-x，-y），$\overrightarrow{PQ}$=（8-x，0）．
∵（$\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0，
∴${\overrightarrow{PC}}^{2}$-$\frac{1}{4}{\overrightarrow{PQ}}^{2}$=0，
∴（2-x）²+y²=$\frac{1}{4}$（8-x）²，
化为：3x²+4y²=48．
∴-4≤x≤4．
∴$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+12-\frac{3}{4}{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}|x-8|$≤$\frac{1}{2}|-4-8|$=6，
∴点P到点C的距离的最大值是6．
故答案为：6．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．