Question

10．设函数f（x）=x²+x|x-a|（x∈[-3，1]）．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若y=2x+4的图象位于函数f（x）图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用分段函数的形式表示函数f（x），对a讨论，当a≥1时，当0≤a＜1时，当-1≤a＜0时，当-4≤a＜-1时，当a＜-4时，结合单调性，即可得到最大值；
（2）结合（1）的结论，求得-2=（-3）²-3|-3-a|，解得a=$\frac{2}{3}$，由6=1+|1-a|，解得a=6，再由图象之间的关系，可得a的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax，x＜a}\end{array}\right.$，
①当a≥1时，f（x）=x²+ax-x²=ax，在[-3，1]递增，即有f（1）=a最大；
②当0≤a＜1时，f（x）在[-3，a]递增，在[a，1]递增，即有f（1）=2-a最大；
③当-1≤a＜0时，f（x）在[-3，a]递减，[a，$\frac{a}{4}$]递减，[$\frac{a}{4}$，1]递增，
由f（-3）≤f（1），则f（1）=2-a取得最大；
④当-4≤a＜-1时，f（x）在[-3，$\frac{a}{4}$]递减，在[$\frac{a}{4}$，1]递增，且f（-3）＞f（1），
即有f（-3）=9-3|a+3|取得最大；
⑤当a＜-4时，f（x）在[-3，$\frac{a}{4}$]递减，在[$\frac{a}{4}$，1]递增，且f（-3）＜f（1），
即有f（1）=1+|a-1|=2-a取得最大；
（2）y=2x+4的图象位于函数f（x）图象的上方，
即有2x+4＞x²+x|x-a|（x∈[-3，1]）恒成立，
由x=-3时，y=-2；x=1时，y=6，
由-2=（-3）²-3|-3-a|，解得a=$\frac{2}{3}$或-$\frac{20}{3}$，
由a＜0时，总有（-3）²-3|-3-a|＞-2或1-|1-a|＞6，
可取a=$\frac{2}{3}$，由（1）可得，当0≤a＜1时，f（x）在[-3，a]递增，在[a，1]递增，
即有f（1）=2-a最大，f（1）＜6，
由6=1+|1-a|，解得a=6，或-4（舍去），
由（1）可得，当a≥1时，f（x）=x²+ax-x²=ax，
在[-3，1]递增，即有f（1）=a最大，
当$\frac{2}{3}$＜a＜6时，函数y=2x+4的图象位于函数f（x）图象的上方．

点评 本题考查含绝对值函数的图象和性质，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．